Taux de rendement composé et valeur actuelle

En quoi consiste le rendement pour un investisseur

Traire la vache.

Le rendement pour un investisseur inclut tous les "cash flows" (entrées et sorties d'argent)
de son placement.

Les entrées (cash flows positifs): loyers, intérêts, dividendes, plus values en
    capital à la revente du bien...

Les sorties (cash flows négatifs): dépenses (commissions, impôts,,,), pertes
    en capital,

Normalement, plus un investissement / placement est risqué, plus son  taux de
rendement doit être élevé
, pour convaincre cet investisseur d'y mettre son argent.

Autrement dit ce taux inclut une "prime de risque"

Taux composé

"Boule de neige arithmétique" en "progression géométrique"

Utilité

Les calculs de taux composés permettent de connaître
le rendement des placements / investissements
sur plusieurs années.

Ils sont utilisés notamment en finance, donc pour les investissements, placements, emprunts

(taux de rendement, taux d'intérêt) et par extension en économie (taux de croissance, effets
inflationnistes),

Pour les épargnants, investisseurs, emprunteurs, les taux composés servent à:

Déterminer le taux de rendement d'un investissement / placement,

Ou déterminer le véritable coût financier ("taux d'intérêt actuariel") d'une dette.

Connaître quelle sera la valeur future VF d'un investissement / placement,
    d'un cash flow, d'un actif / bien (et aussi d'une dette) dans plusieurs années,

Donner la valeur actuelle VA d'un actif / bien ou d'un futur cash flow

Définition / calcul

Le taux de rendement annuel composé d'un actif / bien (ou projet) est:

Un rendement (ou un pourcentage de croissance) annuel R

lequel, composé (*) année après année,

donne un rendement total RT à la fin de la période,

(*) Composé = cumulé en partant de l'hypothèse que

Chaque année la valeur de l'actif / bien est augmentée
    ("capitalisée") du rendement annuel

Pour l'année suivante le taux de rendement est appliqué à cette valeur ainsi augmentée.

Par exemple, si le taux est de 6%, un actif / bien dont la valeur est de 1 Euro aujourd'hui vaudra :

1,06 Euro dans 1 an,

1,06 x 1,06 dans 2 ans, and so on,,

Valeur future VF

Paramètres

R = le taux de rendement annuel composé

(ou, dans d'autres domaines que la finance, toute autre augmentation / diminution

annuelle : croissance économique, inflation...)

D = la durée en nombre d'années

VF = la valeur future valeur à the end of the period

RT = le rendement total de cette période

 

Exemple

Si 1 Euro est placé sur un compte avec R = 6%, Y = 4 ans (et si les intérêts ne sont pas
retirés du compte), sa valeur future VF sera:

1 Euro x 1,06 x 1,06 x 1,06 x 1,06 = 1,262 Euro (c'est la valeur future VF)

Le rendement total RT (augmentation de valeur) est ainsi de 26,2 %

Valeur actuelle VA

Une telle évaluation d'actif / bien est obtenue en "actualisant" la valeur future attendue de cet
actif / bien (ou ce cash flow attendu) à partir du taux de rendement.

Si nous prenons les données ci-dessus, 10,000 Euros que nous recevrons dans 4 ans
vaudront actuellement en théorie (VA / valeur actuelle) :

10,000 / 1,262 = 7,924 Euros (valeur actuelle VA)

Chaîne de cash flows annuels et probabilités

Les actifs financiers procurent le plus souvent, outre une valeur finale (à l'échéance ou à la revente)
une chaîne de cash flows d'année en année.

Vous obtenez un oeuf frais chaque jour et la poule pour une soupe à la fin.

Les calculs doivent en tenir compte, notamment pour déterminer la VA.

Ainsi chaque cash flow est actualisé selon le nombre d'année à attendre
pour qu'il se produise
afin d'obtenir sa valeur actuelle.

=> Puis toutes ces valeurs actuelles sont additionnées pour donner la VA totale de l'actif.

Par ailleurs on peut avoir plusieurs scénarios ayant chacun leur probabilité.

=> La VA de l'actif est alors le total des VA de chaque scénario coefficienté
      par sa probabilité
.

Petit tableau de taux composés et de valeurs futures

Echelle horizontale: Rendement,

Echelle verticale:Durée (années),

Au croisement:Valeur future de 1 Euro placé.

-5%

-3%

-2%

-1%

R

1%

2%

3%

5%

6%

7%

8%

10%

12%

15%

20%

30%

 

D

 

0,95

0,97

0,98

0,99

1

1,01

1,02

1,03

1,05

1,06

1,07

1,08

1,100

1,12

1,15

1,20

1,30

0,903

0,941

0,960

0,980

2

1,020

1,040

1,061

1,103

1,124

1,145

1,166

1,210

1,254

1,323

1,440

1,690

0,857

0,913

0,941

0,970

3

1,030

1,061

1,093

1,158

1,191

1,225

1,260

1,330

1,405

1,521

1,728

2,197

0,815

0,885

0,922

0,961

4

1,041

1,082

1,126

1,216

1,262

1,311

1,360

1,464

1,574

1,749

2,074

2,856

0,774

0,859

0,904

0,951

5

1,051

1,104

1,159

1,276

1,338

1,403

1,469

1,611

1,762

2,011

2,488

3,713

0,735

0,833

0,886

0,941

6

1,062

1,126

1,194

1,340

1,419

1,501

1,587

1,772

1,974

2,313

2,986

4,827

0,698

0,808

0,868

0,932

7

1,072

1,149

1,230

1,407

1,504

1,606

1,714

1,949

2,211

2,660

3,583

6,275

0,663

0,784

0,851

0,923

8

1,083

1,172

1,267

1,477

1,594

1,718

1,851

2,144

2,476

3,059

4,300

8,157

0,630

0,760

0,834

0,914

9

1,094

1,195

1,305

1,551

1,689

1,838

1,999

2,358

2,773

3,518

5,160

10,60

0,599

0,737

0,817

0,904

10

1,105

1,219

1,344

1,629

1,791

1,967

2,159

2,594

3,106

4,046

6,192

13,79

0,569

0,715

0,801

0,895

11

1,116

1,243

1,384

1,710

1,898

2,105

2,332

2,853

3,479

4,652

7,430

17,92

0,540

0,694

0,785

0,886

12

1,127

1,268

1,426

1,796

2,012

2,252

2,518

3,138

3,896

5,350

8,916

23,30

0,513

0,673

0,769

0,878

13

1,138

1,294

1,469

1,886

2,133

2,410

2,720

3,452

4,363

6,153

10,70

30,29

0,488

0,653

0,754

0,869

14

1,149

1,319

1,513

1,980

2,261

2,579

2,937

3,797

4,887

7,076

12,84

39,37

0,463

0,633

0,739

0,860

15

1,161

1,346

1,558

2,079

2,397

2,759

3,172

4,177

5,474

8,137

15,40

51,19

0,440

0,614

0,724

0,851

16

1,173

1,373

1,606

2,183

2,540

2,952

3,426

4,595

6,130

9,358

18,49

66,54

0,397

0,578

0,695

0,835

18

1,196

1,428

1,702

2,407

2,854

3,380

3,996

5,560

7,690

12,38

26,62

112,5

0,358

0,544

0,668

0,818

20

1,220

1,486

1,806

2,653

3,207

3,870

4,661

6,727

9,646

16,37

38,34

190,0

0,323

0,512

0,641

0,802

22

1,245

1,546

1,916

2,925

3,604

4,430

5,437

8,140

12,10

21,64

55,21

320,2

0,277

0,467

0,603

0,778

25

1,282

1,641

2,094

3,386

4,292

5,427

6,848

10,83

17,00

32,92

95,40

705,6

0,215

0,401

0,545

0,740

30

1,348

1,811

2,427

4,322

5,743

7,612

10,06

17,45

29,96

66,21

237,4

2 620

0,166

0,344

0,493

0,703

35

1,417

2,000

2,814

5,516

7,686

10,68

14,79

28,10

52,80

133,2

590,7

9 728

0,129

0,296

0,446

0,669

40

1,489

2,208

3,262

7,040

10,29

14,97

21,72

45,26

93,05

267,9

1 470

36 k

0,077

0,218

0,364

0,605

50

1,645

2,692

4,384

11,47

18,42

29,46

46,90

117,4

323,7

1 084

9 100

498 k

Cas des taux réels (= corrigés de l'inflation)

Juste un exemple, dans lequel :

* L'inflation est de 4%

* Le taux de rendement est de 10%

le taux de rendement "réel" est de

1,10 / 1,04 = 1,058 soit 5,8 %

separ

Dern. mise à jour cette page 04/06/13.
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