Taux de rendement composé
et valeur future

Rendement financier et valeur financière

Le taux de rendement composé indique la rentabilité annuelle d'un
placement ou le coût annuel d'un emprunt.

A l'inverse le taux de rendement sert aussi à déterminer la valeur
future et la valeur actuelle d'un placement ou emprunt.

Pour cela on prend en compte toutes les rentrées et sorties d'argent
prévisibles et les "actualise" en leur appliquant un taux de rendement
considéré nécessaire pour rentabiliser les capitaux engagés.

Extrait aménagé provenant du site
évaluation d'actions et finance comportementale

En quoi consiste le rendement
pour un investisseur

calcul Calculer si la vache
nous sousrapporte davantage
que ce qu'on lui donne à brouter

Une affaire d'entrées et de sorties

Pour un épargnant ou investisseur, c'est quoi le rendement ,
(ou plus pompeusement la "rentabilité du capital investi") ? 

C'est
  • un taux
(généralemment annuel)
  • qui tient compte de tous les "cash flows" 
(façon chic et "pro" de parler des entrées et sorties
d'argent)
  • qu'apporte, ou mieux, apportera son placement / investissement
(plan d'épargne, action boursière, titre d'emprunt... ou projet
d'entreprise.

Bien entendu, cela porte sur:
 
* des données passées si on calcule un rendement historique
* ou des prévisions si on s'intéresse à la rentabilité attendue d'un
   investissement réalisé aujourd'hui.

Dans ce dernier cas, de toute évidence le plus intéressant pour prendre
des décisions économiques er financières, on recense, la vision tournée
avec enthousiasme vers l'avenir (évitons quand même l'excès de
confiance !),
  • Les entrées (cash flows positifs) prévisibles:
  • loyers, intérêts, dividendes, plus values en capital à la
    revente du bien (*)...
  • Les sorties (cash flows négatifs) prévisibles
  • dépenses (commissions, impôts...), pertes en capital lors de
    la revente (*),

    NB: si l'on fait un calcul complet,
    * l'investissement lui même est une sortie de cash
    * et sa récupération par une cession ou un remboursement une
       rentrée d'argent.


    (*) Bien entendu s'il existe un marché, on peut inférer à tout
          moment le gain ou la perte potentielle
    à partir des prix
         pratiqués sur ce marché.

    Egalement une affaire de risque

    Normalement, plus un investissement / placement est
    risqué
    (et plus l'aversion au risque des investisseurs est élevée),
    plus son rendement
    (c.a.d. le rapport entre revenu obtenu ou
    espéré et montant investi)
    doit être élevé, pour convaincre cet
    investisseur d'y mettre son argent.

    => A ce propos, toute offre de taux pharamineux est un signal
          de risque extrème.

    Ce taux, que l'investisseur considère comme le minimum nécessaire à
    une juste rémunération des capitaux engagés
    , inclut donc une "prime
    de risque", une récompense pour acccepter les aléas par rapport à un
    placement sans risque.

    Cas des emprunts

    Pour calculer le poids réel d'un emprunt on peut de la même façon prendre

      * comme cash flow positif : la somme empruntée
      * et comme cash flows négatifs : les intérêts, les autres coûts et les
         remboursements
    .

    Taux composés

    "Boule de neige arithmétique" en "progression géométrique"

    Utilité du calcul

    Les calculs de taux composés permettent de connaître le rendement des
    placements /
    investissements
    sur plusieurs années.

    Cela peut concerner tant le rendement passé à partir des résultats
    connus,
    que le rendement futur estimé à partir des entrées prévisibles.

    Ces formules de calculs en cascade sur une série de périodes s'appliquent :

    * en finance,  aux investissements aux placements et bien sûr
       aux emprunts
    (taux de rendement, taux d'intérêt).

    * aussi à des calculs économiques : taux de croissance, ou d'inflation).

    Pour les épargnants, investisseurs et emprunteurs ainsi consernés, les
    taux composés servent à:
  • Déterminer:
  • * le taux de rendement d'un investissement / placement passé ou
       futur,

    * ou le véritable coût financier ("taux d'intérêt actuariel") d'une
       dette.
  • Connaître quelle sera la valeur future VF dans plusieurs années,
  • C'est ce que vaudra alors un investissement / placement, un cash flow
    (entrée ou sortie d'argent),
    un actif / bien (ou bien une dette) 
  • Donner la valeur actuelle VA d'un actif / bien ou un futur cash flow
  • Définition / calcul

    Le taux de rendement annuel composé d'un actif / bien (ou projet) est:

    Un rendement (*) annuel R

    lequel, composé (**) année après année,

    donne un rendement total RT à la fin de la période,

    (*) = le surplus, en pourcentage, par rapport à la valeur initiale

    (**) Composé =
    cumulé en partant de l'hypothèse que
    * Chaque année la valeur de l'actif / bien est augmentée
      
    ("capitalisée") du rendement annuel
    * Pour l'année suivante le taux de rendement est appliqué
      
    à nouveau à cette valeur déjà augmentée l'année d'avant.
    Par exemple, si le taux est de 6%, un actif ou bien dont la valeur est de
    1 Euro aujourd'hui
    vaudra :

    1,06 Euro dans 1 an,

    1,06 x 1,06 dans 2 ans, et ainsi de suite...

    C'est là qu'est l'effet "boule de neige" / "progression géométrique",
    qu'on peut constater dans le tableau ci-après.

    Valeur future VF

    Paramètres

    R = le taux de rendement annuel composé
             (ou, dans d'autres domaines que la finance, toute autre augmentation /
             diminution annuelle: croissance économique, inflation...)

    D = la durée en nombre d'années

    VF = la valeur future valeur à la fin de la période

    RT = le rendement total de cette période

    Exemple

    Si 1 Euro est placé sur un compte avec R = 6%, Y = 4 ans
    (et si les intérêts ne sont pas retirés du compte),
    sa valeur future VF sera:

    1 Euro x 1,06 x 1,06 x 1,06 x 1,06 = 1,262 Euro
    (c'est la valeur future VF)

    Le rendement total RT (augmentation de valeur)

    est ainsi de 26,2 %

    Valeur actuelle VA

    Une telle évaluation d'actif / de bien s'obtient en "actualisant" la
    valeur future attendue de cet actif / bien  (ou son cash flow attendu)
    en y appliquant le taux de rendement considéré nécessaire pour
    rentabiliser
    les capitaux engagés.
    Si nous reprenons les données ci-dessus,
    les 10,000 Euros que nous recevrons dans 4 ans

    vaudront actuellement en théorie (VA / valeur actuelle) :

    10 000 / 1,262 = 7 924 Euros (valeur actuelle VA)

    Chaînes de cash flows annuels
    et probabilités

    Les actifs financiers procurent le plus souvent, outre une valeur
    finale
    (de remboursement ou de revente), une chaîne de cash flows
    (= entrées et sorties d'argent) d'année en année.

    Avant de terminer sa carrière en coq au vin, la poule donnera un oeuf
    frais chaque jour.

    Les calculs doivent en tenir compte.

    Ainsi chaque cash flow est actualisé en fonction du nombre
    d'années dans lequel il se produira,
    pour obtenir sa valeur actuelle.
     
    => Puis toutes ces valeurs actuelles afférentes chacunes à une durée
          sont additionnées sur l'ensemble de la durée pour donner la VA
          totale de l'actif.

    Par ailleurs on peut avoir plusieurs scénarios
    ayant chacun leur probabilité.

    => La VA de l'actif est alors le total des VA de chaque scénario,
          chacune  étant "coefficientée" par la probabilité
    de ce scénario
          (voir évaluation financière).

    Petit tableau de taux composés
    et valeurs futures

    *
    Echelle horizontale: Rendement,
    * Echelle verticale: Durée (années),
    * Au croisement: Valeur future de 1 Euro placé.


    -5%-3%-2%-1%R1%2%3%5%6%7%8%10%12%15%20%30%

    D
    0,950,970,980,9911,011,021,031,051,061,071,081,1001,121,151,201,30
    0,9030,9410,9600,98021,0201,0401,0611,1031,1241,1451,1661,2101,2541,3231,4401,690
    0,8570,9130,9410,97031,0301,0611,0931,1581,1911,2251,2601,3301,4051,5211,7282,197
    0,8150,8850,9220,96141,0411,0821,1261,2161,2621,3111,3601,4641,5741,7492,0742,856
    0,7740,8590,9040,95151,0511,1041,1591,2761,3381,4031,4691,6111,7622,0112,4883,713
    0,7350,8330,8860,94161,0621,1261,1941,3401,4191,5011,5871,7721,9742,3132,9864,827
    0,6980,8080,8680,93271,0721,1491,2301,4071,5041,6061,7141,9492,2112,6603,5836,275
    0,6630,7840,8510,92381,0831,1721,2671,4771,5941,7181,8512,1442,4763,0594,3008,157
    0,6300,7600,8340,91491,0941,1951,3051,5511,6891,8381,9992,3582,7733,5185,16010,60
    0,5990,7370,8170,904101,1051,2191,3441,6291,7911,9672,1592,5943,1064,0466,19213,79
    0,5690,7150,8010,895111,1161,2431,3841,7101,8982,1052,3322,8533,4794,6527,43017,92
    0,5400,6940,7850,886121,1271,2681,4261,7962,0122,2522,5183,1383,8965,3508,91623,30
    0,5130,6730,7690,878131,1381,2941,4691,8862,1332,4102,7203,4524,3636,15310,7030,29
    0,4880,6530,7540,869141,1491,3191,5131,9802,2612,5792,9373,7974,8877,07612,8439,37
    0,4630,6330,7390,860151,1611,3461,5582,0792,3972,7593,1724,1775,4748,13715,4051,19
    0,4400,6140,7240,851161,1731,3731,6062,1832,5402,9523,4264,5956,1309,35818,4966,54
    0,3970,5780,6950,835181,1961,4281,7022,4072,8543,3803,9965,5607,69012,3826,62112,5
    0,3580,5440,6680,818201,2201,4861,8062,6533,2073,8704,6616,7279,64616,3738,34190,0
    0,3230,5120,6410,802221,2451,5461,9162,9253,6044,4305,4378,14012,1021,6455,21320,2
    0,2770,4670,6030,778251,2821,6412,0943,3864,2925,4276,84810,8317,0032,9295,40705,6
    0,2150,4010,5450,740301,3481,8112,4274,3225,7437,61210,0617,4529,9666,21237,42 620
    0,1660,3440,4930,703351,4172,0002,8145,5167,68610,6814,7928,1052,80133,2590,79 728
    0,1290,2960,4460,669401,4892,2083,2627,04010,2914,9721,7245,2693,05267,91 47036 k
    0,0770,2180,3640,605501,6452,6924,38411,4718,4229,4646,90117,4323,71 0849 100498 k

    Annexe: calcul des taux réels
    (= corrigés de l'inflation)

    Donnons juste un exemple, dans lequel :
    • L'inflation est de 4%
    • Le taux de rendement est de 10%
    le taux de rendement "réel" est de
    1,10 / 1,04 = 1,058 soit 5,8 %

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    M.a.j. / updated
    : 16 sept. 2015

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